【欧几里得塑形镜】欧几里得空间与希尔伯特空间

2020-04-15 - 欧几里得

多年以前学信号与系统的时候就听说过希尔伯特空间,但是一直不清楚这究竟是个什么东西,然而它却老是时不时在你学得最欢的时候冒出来搞得人一头雾水,于是今天专门花了很多时间总算对其概念有了一些基本的了解。本文整理自上海交通大学王维克教授的公开课,课程链接附在文末。

【欧几里得塑形镜】欧几里得空间与希尔伯特空间
【欧几里得塑形镜】欧几里得空间与希尔伯特空间

欧几里得空间,希尔伯特空间,巴拿赫空间或者是拓扑空间都属于函数空间。函数空间 = 元素 规则 ,即一个函数空间由 元素 与 元素所满足的规则 定义,而要明白这些函数空间的定义首先得从距离,范数,内积,完备性等基本概念说起。

【欧几里得塑形镜】欧几里得空间与希尔伯特空间
【欧几里得塑形镜】欧几里得空间与希尔伯特空间

一.距离 说到距离,我们首先想到的是点与点之间的距离,除此之外还有向量之间的距离,曲线之间的距离,函数之间的距离…。这儿谈到 距离 的定义是一种泛指的概念。点与点之间的距离 与 距离 就类似于苹果与水果之间的关系。距离 这个概念的作用主要用于衡量同一空间不同元素之间的差异情况,从这个出发点我们可以得到关于距离的一些属性:

元素之间的距离大于等于0,若距离等于0则为相同元素。 元素A到B之间的距离等于元素B到A之间的距离。 元素之间的距离满足三角不等式。 满足以上三条属性即可称作元素之间的距离,其正式定义如下

设X是一个非空集合,任给一对这一集合的元素X,Y X,YX,Y。都给定一个实数 d(X,Y) d(X,Y)d(X,Y) 与之对应,并且满足

d(X,Y)≥0;d(X,Y)=0⇔X=Y; d(X,Y) \ge 0 ; \quad d(X,Y) =0 \Leftrightarrow X=Y ;d(X,Y)≥0;d(X,Y)=0⇔X=Y; d(X,Y)=d(Y,X); d(X,Y)=d(Y,X);d(X,Y)=d(Y,X); d(X,Y)≤d(X,Z) d(Y,Z); d(X,Y) \le d(X,Z) d(Y,Z);d(X,Y)≤d(X,Z) d(Y,Z); 则称d(X,Y) d(X,Y)d(X,Y)是元素X,Y之间的距离

二.范数 范数 是比 距离 限制条件更多的一个概念。为了形象地解释范数的概念,这儿在二维平面进行说明。 在定义了 距离 这个概念之后,我们便可以描述二维平面上两个点之间的 距离 ,此时这个空间称作 度量空间 。

但目前的条件没有办法描述一个点的“长度” ,因为缺少了 零点 。而范数定义之后此空间便多了一个零点,可以联想我们熟悉的平面直角坐标系,二维平面中范数可以看做是平面中的点到零点的距离。拥有范数的空间称作赋范空间,用符号∣∣X∣∣

X

∣∣X∣∣表示元素X XX的范数。因为范数的概念是在距离的概念上加了新的限制,则赋范空间一定是度量空间。我们可以用范数定义距离: d(X,Y)=∣∣X−Y∣∣ d(X,Y)=

X-Y

d(X,Y)=∣∣X−Y∣∣

总结:元素X XX的范数∣∣X∣∣

X

∣∣X∣∣可简单看做X XX到零点的近距离。

三.线性 线性这个概念可以说是很熟悉了,即为加法与乘法的结合。若一个空间为线性空间,只要我们知道了此空间的所有基,便可以用加法与数乘表示这一空间所有的元素,如二维平面中能用X轴的单位向量与Y轴的单位向量表示此平面的任意向量。

四.内积 内积又称点积或者数量积,在高中学习向量的点乘运算时便接触到这一概念。在有了前面的定义之后的空间总觉得与我们最熟悉的空间还差点什么,没错,就是角度。在引入内积之后的空间便有了角度的概念。X XX与Y YY的内积用符号(X,Y) (X,Y)(X,Y)表示,内积的结果同样是为实数。

内积是在范数的概念上加了更多限制条件,即内积空间一定为赋范空间,同样的,可以用内积定义范数如下: ∣∣X∣∣2=(X,X)

X

^2 = (X,X) ∣∣X∣∣ 2 =(X,X)

目前为止便完成了本文的大部分内容,有限维内积空间便是我们最熟悉的欧几里得空间。

五.完备性 完备性这个概念的历史渊源比较深厚,作为非数学专业的工科生我也不太明白完备性的具体含义,简单来说对集合中的元素取极限不超出此空间便称其具有完备性。可以反向地通过不完备来理解完备性,对于整数集而言,对5取极限,便会超出整数集,即整数集不完备。

2018-10-22更正: 最近学了一点泛函,对完备性有了新的理解。完备性是在极限的基础上衍生的概念。例如在有理数集上的一个序列{1,1.4,1.41,1.414,1.4142…},可知此序列极限为2–√ \sqrt{2} 2 ​ ,而2–√ \sqrt{2} 2 ​ 为无理数,不属于有理数集,即有理数集不具备完备性。

有了以上的概念理解众多迷糊人的空间便容易得多了

线性完备内积空间称作希尔伯特空间 线性完备赋范空间称作巴拿赫空间 有限维线性内积空间称作欧几里得空间 需要更加深入地理解希尔伯特空间大概避不开泛函分析,但作为工科学生,大概了解其概念够用就好。

相关阅读
欧几里得角膜塑形镜【欧几里得角膜塑形镜】回望欧几里得几何 | 詹克明

“少年读诗如隙中窥月,中年读诗如庭中望月,老年读诗如台上观月”(张潮《幽梦影》)。读诗如此,读欧几里得几何学也同样如此。中学时代按照课本一点都不“走心”地读几何与耄耋之年再次捧读13卷的欧几里得《几何原本》。

欧几里得角膜塑性镜【欧几里得角膜塑性镜】加拿大滑铁卢大学欧几里得数学竞赛 北美名校的敲门砖

每年的4月份,加拿大滑铁卢大学(University of Waterloo)都会举办欧几里得数学竞赛。欧几里得数学竞赛是由加拿大滑铁卢大学举办的一项国际性的数学竞赛, 该竞赛的重要性仅次于国际奥利匹克数学竞赛。

欧几里得几何原本【欧几里得几何原本】欧几里得和他的《几何原本》

尽管我们对古希腊数学家欧几里得了解不多,但我们知道他生活在希腊统治下埃及的亚历山大城,他因写了极具开创性的《几何原本》而闻名于世。欧几里得的《几何原本》无疑是有史以来最重要的数学著作之,一直到19世纪这本书都被认为是所有学者的基础读物。

欧几里得几何游戏【欧几里得几何游戏】欧几里得之地:不懂几何者不得入内

从几何知识到益智游戏的华丽转身,《欧几里得之地》尝试将晦涩的数学化为简单易懂的图形,像早些年的经典益智游戏《小3传奇》那样,用最简单的方式缩短大众与数学之间的距离。事实上,本作已经将删繁就简的功夫练到炉火纯青。

欧几里得游戏【欧几里得游戏】纪念碑谷相似的解谜游戏《欧几里得之地》限时6折促销

《欧几里得之地》(Euclidean Lands)是由kunabi brother GmbH推出的一款全新解谜游戏,该作不仅在美术和环境设置上与《纪念碑谷》谜之相似,而且还在玩法上借鉴了Square Enix的GO系列。

推荐阅读
小学语文教学大纲模板【小学语文教学大纲模板】俄专家建议:俄罗斯学校需统一汉语教学大纲
举重妖精金福珠花絮举重妖精金福珠花絮 广西青少年举重锦标赛 上思运动员斩获22金22银
孙燕姿洗澡时唱歌孙燕姿洗澡时唱歌 孙燕姿与歌迷近距离互动 热燃新歌唱谈会现场
关幼波继承人有哪些【关幼波继承人有哪些】【国医名方】关幼波《复肝草方》治疗乙型肝炎
里克阿德尔曼里克阿德尔曼 里克·阿德尔曼
杜聿明与史迪威杜聿明与史迪威 杜聿明简介 杜聿明和孙立人之间有何矛盾