【秦九韶公式详解】秦九韶公式

2019-10-28 - 秦九韶

海伦公式 海伦公式又译作希伦公式、海龙公式、希罗公式、海伦-秦九韶公式,传说是古代的叙拉古国王希伦(heron,也称海龙)二世发现的公式,利用三角形的三条边长来求取三角形面积。但根据MorrisKline在1908年出版的著作考证,这条公式其实是阿基米德所发现,以托希伦二世的名发表(未查证)。我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”,它与海伦公式基本一样。

【秦九韶公式详解】秦九韶公式
【秦九韶公式详解】秦九韶公式

假设有一个三角形,边长分别为a、b、c,三角形的面积S可由以下公式求得: S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 而公式里的p为半周长: p=(a b c)/2 —————————————————————————————————————————————— 注:"Metrica"(《度量论》)手抄本中用s作为半周长,所以 S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]和S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]两种写法都是可以的,但多用p作为半周长。

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由于任何n边的多边形都可以分割成n-2个三角形,所以海伦公式可以用作求多边形面积的公式。比如说测量土地的面积的时候,不用测三角形的高,只需测两点间的距离,就可以方便地导出答案。

【秦九韶公式详解】秦九韶公式
【秦九韶公式详解】秦九韶公式

证明(1): 与海伦在他的著作"Metrica"(《度量论》)中的原始证明不同,在此我们用三角公式和公式变形来证明。设三角形的三边a、b、c的对角分别为A、B、C,则余弦定理为 cosC=(a^2 b^2-c^2)/2ab

设p=(a b c)/2 则p=(a b c)/2,p-a=(-a b c)/2,p-b=(a-b c)/2,p-c=(a b-c)/2,

上式=√[(a b c)(a b-c)(a-b c)(-a b c)/16] =√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 所以,三角型ABC面积S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

证明(2): 我国宋代的数学家秦九韶也提出了“三斜求积术”。它与海伦公式基本一样,其实在《九章算术》中,已经有求三角形公式“底乘高的一半”,在实际丈量土地面积时,由于土地的面积并不是的三角形,要找出它来并非易事。

【秦九韶公式详解】秦九韶公式
【秦九韶公式详解】秦九韶公式

所以他们想到了三角形的三条边。如果这样做求三角形的面积也就方便多了。但是怎样根据三边的长度来求三角形的面积?直到南宋,我国著名的数学家九韶提出了“三斜求积术”。 秦九韶他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜。

“术”即方法。三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方,送到斜平方,取相减后余数的一半,自乘而得一个数小斜平方乘以大斜平方,送到上面得到的那个。相减后余数被4除冯所得的数作为“实”,作1作为“隅”,开平方后即得面积。 所谓“实”、“隅”指的是,在方程px2=qk,p为“隅”,Q为“实”。以△、a,b,c表示三角形面积、大斜、中斜、小斜,所以 q=1/4[c2a2-(c%

2 a2-b2/2)2] 当P=1时,△2=q, S△=√{1/4[c2a2-(c2 a2-b2/2)2]} 因式分解得 1/16[(c a)2-b2][b62-(c-a)2] =1/16(c a b)(c a-b)(b c-a)(b-c a) =1/8S(c a b-2b)(b c a-2a)(b a c-2c) =p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得: S△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] 其中p=1/2(a b c) 这与海伦公式完全一致,所以这一公式也被称为“海伦-秦九韶公式”。