【陈省身比丘成桐厉害】陈省身:如何做“好的数学”

2019-10-28 - 陈省身

2003年初春的一天,我们到南开大学宁园访问了陈省身先生。陈老虽已年过九旬,但除了需要坐轮椅外,他依然精神矍铄,思维敏捷。

陈先生从小就喜欢看书,什么书都拿来读,从《古文观止》到桐城派的文章,从唐诗到宋词。他特别喜欢《资治通鉴》,看过许多遍。

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“当然没有毛主席读得多。”陈老风趣地说。

在我们海阔天空地聊了一阵之后,他认为还需要做一些补充:“其实我是一个生性淡泊的人。我年轻时就想隐居,不愿与人有过多的往来,主要的心愿是留学,当时就知道了重要的发展在国外。留学以后看出数学是条路子,自己可以走,就在这方面发展了。我尽量不干涉别人的事,自己努力。”

【陈省身比丘成桐厉害】陈省身:如何做“好的数学”
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“有一年我跟内人去参观罗汉塔,我就感慨地跟她说:‘无论数学做得怎么好,顶多是做个罗汉。菩萨或许大家都知道他的名字,罗汉谁也不知哪个是哪个人。所以不要把名看得太重。’”可见,陈老对名利之淡泊,为人处世之通达,不完全来自天性,也来自对世界、人生的哲理性思考。

【陈省身比丘成桐厉害】陈省身:如何做“好的数学”
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陈老很健谈,但他最爱谈的仍然是数学。他总是谆谆嘱咐后学者要做“好的数学”。什么是“好的数学”?可以从不好的数学谈起。陈先生在一次讲演中举过一个“幻方”的例子:将1至9排成三行三列的一个方阵,使每行每列以及两对角线上的数字相加均为15。我们可以做到这一点,例如:

【陈省身比丘成桐厉害】陈省身:如何做“好的数学”

可惜幻方只是一个奇迹,它在数学中没有引起其他更普遍深刻的影响。相反地,另外一个奇迹,所有的圆、圆的周长和它的直径之比都是一个不变的数,数学上称之为圆周率,记作。这个结果可重要了,因为这个数渗透了整个数学!譬如,可以出现在下面的公式中:

这个公式美极了!人们怎么也想不到由单数1,3,5……的组合可以产生圆周率。对于一个数学家来说,这个公式正如一幅美丽的图画或风景。

对的研究,引发了数学各个方面深刻的结果,是好的数学。幻方只是一个偶然现象,虽很巧妙,但不属于好的数学。与此相关,陈省身在一次报告中提及中学生数学奥林匹克竞赛的问题。他说,他是支持数学竞赛的,对数学竞赛的获奖者也一再给以鼓励,希望他们成功。

但是数学竞赛的题目都不是好的题目,因为在两三个钟头里,青少年学生能做出来的技巧性题目,不可能有很深的含义。这样说,并不是说奥林匹克竞赛题目都出得不好,他认为,数学奥林匹克竞赛的奖只是一个能力的表现,离研究一个好的数学问题还差得很远,更不可以把奥林匹克数学竞赛获奖者等同于数学家。

陈省身引用了法国大数学家拉格朗日(1736-1813)的标准,认为好的数学问题应当满足两个条件:一是易懂,走在马路上向任何人都能讲清楚;二是难攻,这种数学问题必须相当困难,但又不是无法攻克的。一个数学问题易懂,往往说明这个问题直观,很基本,具有普遍性,不需附加很强的外在条件。难攻应当指问题比较深入,非一眼可以看穿。从这样的角度再来审视陈省身的数学成果,也许我们更容易理解其中的价值和意义了。

陈先生自己最得意的工作是高斯-博内公式的内蕴证明。高斯-博内公式可以看作平面上三角形的内角之和等于180°或者(弧度制)在高维曲面上的推广。高斯-博内公式告诉我们,曲面三角形的点曲率、线曲率及面曲率之和,即全曲率等于一个与有关的几何不变量。从定理的叙述中可以看出,这是曲面几何的多么基本、美丽的定理。

陈省身将高斯-博内公式推广到曲面,建立了曲面上各点的单位切矢量形成的空间的结构,称为“圆丛”。

讲到这里,陈先生很兴奋地说,“这个定理证明的原始想法在西南联大时就有。有了原始想法,再加上非常复杂的微分几何的计算,这需要用到当时看来比较高深的数学,像分析、代数几何、李群、拓扑等。对拓扑学的一些工具当时还没有完全搞清,为了证明这个定理,抓起来就用……”

高斯-博内公式的证明推动了大范围微分几何学的发展,而大范围微分几何学中的许多概念、理论又深刻影响了近代数学其他分支。“其影响遍及整个数学”,陈省身获沃尔夫奖的证书上如是说。

更令人惊奇的是,科学家们事后发现,微分几何中的这些新观念竟然与物理学中的“场论”惊人地相一致。著名物理学家杨振宁和米尔斯在1954年发表了《杨-米尔斯规范场论》,将物理中的引力、电磁力、弱力和强力,这四种基本力的能都归结为规范场。但直到20年后,科学家们才发现二者之间的紧密联系:原来纤维丛和联络可以作为规范场论的数学基础。

陈省身先生自豪地对我们说:“起码我们数学没有落后,数学为物理学提供了基础和工具。”

就在1975年弄清规范场和纤维丛的关系后,杨振宁驱车前往陈省身在伯克利的家中,向他报告这一消息。杨振宁说:“物理学的规范场正好是纤维丛上的联络,而后者是在不涉及物理世界的情况下发展出来的,这实在令我惊讶。”他又加了一句,“这即使我震惊,也令我迷惑不解,因为你们数学家能凭空想象出这些概念。”陈省身马上提出异议,“不,不。这些概念不是想象出来的。它们是自然的,也是实在的。”

陈先生以自己的学术活动实践着做“好的数学”的理想。他指出了数学的抽象性特点以及中国传统数学在这方面的不足。

陈先生指出:“我觉得中国古代数学都偏于应用,讲得过分一点,甚至可以说中国古代数学没有纯粹数学,都是应用数学,这是中国古代科学的一个缺点,这个缺点到现在还存在。应用当然很重要,但是许多科学领域的基本发现都在于基础科学。”

同样,陈老也恳切地指出我国在培养人才机制方面的某些缺陷。他对我们说,“中国培养人才方面最大的问题是近亲繁殖。”其实,40年前他就指出过这一点:“1930年以后,国内数学界有长足的进步……尤其浙大在陈(建功)、苏(步青)二先生主持下,学生甚多,工作极勤。

可惜他们采取的态度,可名之为‘学徒制’,学生继续做先生的问题,少有青出于蓝的机会。要使科学发展,必须要给工作者以自由,这是值得深思的。”70年后的今天,学徒制的影子不是仍然随处可见吗?可见克服体制的和社会的习惯势力有多么的不易!

今天,我们有许多人在做科学工作,更有一些人在做“科学管理”的工作,但是,如果我们不明白科学的本质是什么,如果我们不明白科学发展的原动力在哪里,我们就无法理解陈老所说的“要使科学发展,必须要给工作者以自由。”

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Gemini

来源

《大学者》,黄且圆著,科学出版社出版

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