【欧几里得角膜塑形镜】回望欧几里得几何 | 詹克明

2020-04-15 - 欧几里得

“少年读诗如隙中窥月,中年读诗如庭中望月,老年读诗如台上观月”(张潮《幽梦影》)。读诗如此,读欧几里得几何学也同样如此。中学时代按照课本一点都不“走心”地读几何与耄耋之年再次捧读13卷的欧几里得《几何原本》,两者感受竟然如此迥然不同。

【欧几里得角膜塑形镜】回望欧几里得几何 | 詹克明
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欧几里得(Euclid)首先是位哲学家。他出生于古希腊文明中心雅典城,浓郁的哲学气氛深深感染了他,以至于欧几里得十几岁时就进入当时哲学的最高学府柏拉图学园学习。柏拉图学园继承了哲学泰斗毕达哥拉斯“数论”的哲学传统,对数学(特别是数学中的哲学理念)极为重视,学园门口挂着一块木牌:“不懂几何学者,不得入内!

【欧几里得角膜塑形镜】回望欧几里得几何 | 詹克明
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”柏拉图学园以数学作为重要的研究对象,树立了公开研讨的学风,欧几里得在此对几何学理论进行了周详而系统的研究。

他敏锐地察觉到未来几何学必将走向“公理化”的发展趋势,为此,他决心将几何学归纳汇总为一个结构严谨、“逻辑统一”的完整体系。他历经长途跋涉,从雅典来到埃及新埠亚历山大城,进入了全世界藏书最多的亚历山大大学。

【欧几里得角膜塑形镜】回望欧几里得几何 | 詹克明
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当时的托勒密国王专门出资供养30~50位学者(其中也包括欧几里得),让他们在亚历山大图书馆潜心研究学问。亚历山大图书馆馆藏各类书籍手稿逾50万卷,并积累了大量几何学原始文献,欧几里得尽其所能地收集了前人的数学专著与手稿,将这些原本散乱的、缺乏内在联系而又未能形成系统证明的定理加以梳理整合,使之结构精密严谨、环环相扣,历经数年终于创立出一部《几何原本》(13卷)。

《几何原本》首先遴选出一些现实世界并不真正存在的、抽象的点、线、面、圆(如“没有部分”的点、“没有宽度”的线、“没有厚度”的面)等元素作为定义(仅第一章里就给出了23条定义,全书13卷总计给定119条定义);

然后提出不证自明的5条公设、5条公理;

在此基础上结合5公设、5公理及23条定义,运用精密逻辑思维循序渐进地逐条证明出每一个命题(后面命题的证明都必须建立在前面业已证明的命题基础上)。[例如,他先用(公设1.3)(公设1.1)(定义1.15)(公理1.

1)证明了命题1.1“在一条已知线段上作一个等边三角形”;然后再用已经证明过的(命题1.1),结合(公设1.1)(公设1.2)(公设1.3)(定义1.15)证明了命题1.2“由一个已知点作一线段等于已知线段”;依次再用(公设1.

3)(定义1.15)(公理1.1)证明了命题1.3“已知两条不相等的线段,试由长的上边截取一条线段使它等于另外一条”……]就这样地依照次序,逐级迭代,层层铺砌,最终完成几乎囊括了所有几何追问的465个命题的证明。

至此欧几里得终成正果——撰写出一部结构严整、逻辑精密、系统有序的《几何原本》(《几何原本》是中文译名,欧几里得原书的书名为《形论》,以对应毕达哥拉斯的《数论》)。

对人类文明而言,最具重要意义的恰恰是欧几里得在《几何原本》中所创造的“公理化方法”。其论证之精彩,逻辑之周密,结构之严谨,令人叹为观止。欧几里得被认为是全面而系统地应用公理化方法的第一人,零散的数学理论被他成功地创建为一个从基本假定到复杂结论,犹如金字塔般严整的系统化整体。

他的工作被认为是“最早运用公理法建立数学演绎体系的典范”,这一方法在此后的物理学等其他科学领域中都得到了广泛的应用。两千多年前写就的《几何原本》已被翻译成各种文字,它的印刷量仅次于《圣经》,故人们将《几何原本》奉为数学界的“圣经”。

欧几里得几何学被准许使用的“合法工具”乃是恩诺皮德斯最早提出的“尺规作图”——只允许使用圆规和没有刻度的直尺!这让我联想起二十年前在新疆博物馆看到的一幅双螺旋缠绕的《伏羲女娲图》——女娲右手举“规”,伏羲左手持“矩”(相当于无刻度的直尺)。两千多年前的古希腊与古中国虽然远隔万里,居然还有过这等巧合——都将“尺规”视为核心工具!看来这幅《伏羲女娲图》不仅有“交合”,还有“规矩”(圆规与矩尺)!

由于欧几里得几何学只是一种建立在公理基础上的逻辑推演,因此其结论是否成立也只取决于其逻辑推演本身是否正确,完全不依赖于任何实际观察。只要“逻辑思维”本身推理过程没有漏洞,它们就会绝对正确,不存在任何争议。而且“对就是对,错就是错”,一经确立就永远不可推翻。

仅仅凭着大脑的纯逻辑思维,不必与自然有任何接触,也无需做任何实际测量,就能创生出一部完全符合自然界“空间规律”的欧几里得几何学。这是一种绝对悬殊而又令人震撼的“天人合一”。大脑所创生的欧几里得几何学应当归属于一个可与自然界客观物质世界相平行的客观精神世界。这种客观精神可视为客观物质之魂,此“魂”既可附体于“客观物质”,又可作为“离魂”而独立存在,甚至还可以“先验地”作为认识客观物质世界的理论基础!

欧几里得几何学只能抽象地存在于人们的头脑中。你无法在现实世界里真正看到。贝克莱主教(Bishop Berkeley)指出:“我们实际上并不能看到距离,我们所看到的只是视角,再用这一实际看到的角度来推断事物的几何性质。

”在现实中我们确实看不到欧几里得的“平行线”(平行的铁轨在我们的眼中越远就越窄)。一个立方体每个角都是90°的直角,但你若从顶点视角观看,它却是一个由3个120°角所拼成的“平面”(不过在你的头脑中却仍旧会把它们恢复成3个立体直角)。人类以其独有的抽象思维能力,从根本上与其他动物相区别。没有抽象就没有名词、动词、数词,没有抽象就没有语言、数学,更没有欧几里得几何学。

在数学上,人类真正的早慧时代是古巴比伦、古埃及、古希腊―亚历山大里亚、古印度时期。这个时期恰恰是人类精密纯逻辑思维的创立时期。随后的古典文明时期就是一个“宗教―哲学―科学”三位一体,彼此紧密衔接、相互启发、互为引导的一个长达千年“崇尚思辨”的历史时期。那时的社会注重辨析,理论艰深,传播畅达,哲人辈出;那时的社会生活形态简单,是一个远离现代“机器”喧嚣的安静时代。

那时的人们心态安宁,绝少嗜欲,像孩童般地心地纯净,喜欢提出深奥而又全无实用价值的问题,并且不遗余力地对这些根本问题进行不懈追问、深入钻研。众多精英学者对哲学的痴迷甚至会让很多西方哲人一辈子无暇婚事(例如赫拉克利特、德谟克利特、毕达哥拉斯、奥古斯丁、帕斯卡、笛卡儿、斯宾诺莎、伏尔泰、休谟、莱布尼茨、康德、叔本华、斯宾塞、尼采、维特根斯坦、萨特、福柯……若是抹掉了这些鼎鼎大名的“单身”哲人,西方哲学史还能如此玄奥艰深吗)。

他们以毕生精力,全力以赴地致力于创立自己的哲学体系。相比之下,现代人身处社会樊笼网罗之中,心散事繁,浮躁难安,多方掣肘,万种纠缠,难以进入脱俗离垢、倾心钻研之境界。仅就其思考深度而言——今人未必超越古人!

中学时代(包括小学)是每个人汲取人类从古代直到18世纪之前、几乎囊括人类全部科学成就的黄金时期。幸运的中学生本该成为能够全景式欣赏人类早期智慧的清纯族群!可叹当年稚气十足,阅历清浅,一抹“童心”冥顽不灵。

如今耄耋之年,如同老牛反刍,仔细咀嚼回味少年所学之科学经典,反而能从根底上深深服膺古代哲人那种绝顶高超的纯逻辑思考,叹赏人类文明之初的“哲科思维”使“狭义哲学”与“科学体系”互为提升,登临智慧巅峰。以此老眼阅世,品味人类全部文明那种“远近高低各不同”而又各逞其趣的“庐山真面目”,真是悠然快哉。

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